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11.已知函數f(x)=cos2x+(m-2)sinx+m,x∈R,m是常數.
(1)當m=1時,求函數f(x)的值域;
(2)當$m=-\frac{7}{2}$時,求方程f(x)=0的解集;
(3)若函數f(x)在區(qū)間$[{-\frac{π}{6},\frac{5π}{6}}]$上有零點,求實數m的取值范圍.

分析 (1)當m=1時,化簡函數的解析式,利用正弦函數的最值以及二次函數的最值求解即可.
(2)當$m=-\frac{7}{2}$時,化簡f(x)=0,即$-{sin^2}x+({-\frac{7}{2}-2})sinx-\frac{7}{2}+1=0$,求解即可.
(3)利用換元法1+sinx=t,求出自變量的范圍,判斷函數的單調性,然后求解函數的最值.

解答 解:f(x)=cos2x+(m-2)sinx+m=1-sin2x+(m-2)sinx+m=-sin2x+(m-2)sinx+m+1…(1分)
(1)當m=1時,$f(x)=-{sin^2}x-sinx+2=-{({sinx+\frac{1}{2}})^2}+\frac{9}{4}$
當$sinx=-\frac{1}{2}$時,$f{(x)_{max}}=\frac{9}{4}$,當sinx=1時,f(x)min=0
所以,當m=1時,函數f(x)的值域是$[{0,\frac{9}{4}}]$;…(5分)
(2)當$m=-\frac{7}{2}$時,方程f(x)=0即$-{sin^2}x+({-\frac{7}{2}-2})sinx-\frac{7}{2}+1=0$,
即2sin2x+11sinx+5=0,解得$sinx=-\frac{1}{2}$,(sinx=-5已舍)…(8分)$x=2kπ+\frac{4π}{3}$,和$x=2kπ+\frac{5π}{3},k∈Z$
所以,當$m=-\frac{7}{2}$時,方程f(x)=0的解集是$\left\{{x|x=2kπ+\frac{4π}{3},或x=2kπ+\frac{5π}{3},k∈Z}\right\}$…(10分)
(3)由f(x)=0,得-sin2x+(m-2)sinx+m+1=0,-sin2x+(m-2)sinx+m+1=0,
(1+sinx)m=sin2x+2sinx-1,
∵$x∈[{-\frac{π}{6},\frac{5π}{6}}]$,∴1+sinx≠0,
∴$m=\frac{{{{sin}^2}x+2sinx-1}}{1+sinx}=\frac{{{{({1+sinx})}^2}-2}}{1+sinx}$…(13分)
令1+sinx=t,∵$x∈[{-\frac{π}{6},\frac{5π}{6}}]$,∴$t∈[{\frac{1}{2},2}]$$m=t-\frac{2}{t},t∈[{\frac{1}{2},2}]$
令$g(t)=t-\frac{2}{t},t∈[{\frac{1}{2},2}]$
設$\frac{1}{2}≤{t_1}<{t_2}≤2,g({t_1})-g({t_2})=({{t_1}-\frac{2}{t_1}})-({{t_2}-\frac{2}{t_2}})=({{t_1}-{t_2}})-({\frac{2}{t_1}-\frac{2}{t_2}})$=$({{t_1}-{t_2}})-\frac{{2({{t_2}-{t_1}})}}{{{t_1}{t_2}}}=\frac{{({{t_1}-{t_2}})({{t_1}{t_2}+2})}}{{{t_1}{t_2}}}<0$,
∴g(t1)<g(t2),∴g(t)在$[{\frac{1}{2},2}]$上是增函數,
∴g(t)在$[{\frac{1}{2},2}]$上的值域是$[{-\frac{7}{2},1}]$,
∴m∈$[{-\frac{7}{2},1}]$…(16分).

點評 本題考查函數與方程的應用,三角函數的最值的求法,換元法的應用,考查計算能力.

練習冊系列答案
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