Question

2．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為F（2，0），右頂點(diǎn)為A（1，0）．
（1）試求雙曲線的方程；
（2）過左焦點(diǎn)作傾斜角為$\frac{π}{6}$的弦MN，試求△OMN的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的幾何量，即可求解雙曲線方程．
（2）求出直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用弦長公式以及點(diǎn)到直線的距離求解三角形的面積．

解答 解：（1）中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為F（2，0），右頂點(diǎn)為A（1，0）．
$c=2，a=1，b=\sqrt{3}$，方程為${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$
（2）直線MN：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2）$與${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$聯(lián)立，消去y可得，8x²-4x-13=0，則|MN|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{（{\frac{1}{2}）}^{2}-4×（-\frac{13}{8}）}$=3$\begin{array}{c}.\end{array}\right.$
又原點(diǎn)到直線MN的距離為：d=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+1}}$=1，
△OMN的面積$S=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的求法，直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．