Question

18．設函數(shù)f（x）=x|x-a|，0≤x≤1的最大值是g（a），求g（a）的解析式，并求出g（a）的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)絕對值的性質把函數(shù)表示為分段函數(shù)形式，結合一元二次函數(shù)的圖象和性質進行討論即可．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-a），}&{x≥a}\\{x（a-x），}&{x＜a}\end{array}\right.$，
若a≤0，則f（x）對應的圖象為（1），此時函數(shù)在0≤x≤1上為增函數(shù)，則此時的最大值為f（x）_max=g（a）=g（1）=|1-a|=1-a，
當0＜a＜1時，f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{a}{2}$•|$\frac{a}{2}$-a|=$\frac{a}{2}$•|$\frac{a}{2}$|=$\frac{{a}^{2}}{4}$，f（1）=1-a，
則f（$\frac{a}{2}$）-f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a-1=$\frac{{a}^{2}+4a-4}{4}$，
①當a²+4a-4＞0時，解得a＞-2+2$\sqrt{2}$或a＜-2-2$\sqrt{2}$，
即-2+2$\sqrt{2}$＜a＜1時，f（$\frac{a}{2}$）-f（1）＞0，
則f（$\frac{a}{2}$）＞f（1），此時最大值為值g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
②當a²+4a-4=0時，解得a=-2+2$\sqrt{2}$或a=-2-2$\sqrt{2}$（舍），
即a=-2+2$\sqrt{2}$時，f（$\frac{a}{2}$）-f（1）=0，
則f（$\frac{a}{2}$）=f（1），此時最大值為值g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$=1-a；
③當a²+4a-4＜0時，解得-2-2$\sqrt{2}$＜a＜-2+2$\sqrt{2}$，
即0＜a＜-2+2$\sqrt{2}$時，f（$\frac{a}{2}$）-f（1）＜0，
則f（$\frac{a}{2}$）＜f（1），此時最大值為值g（a）=f（1）=1-a．

點評 本題主要考查函數(shù)的最值的求解，利用絕對值的性質將不等式轉化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質進行求解是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．