【題目】設，為三維空間中個點組成的有限集，其中任意四點不在一個平面上，將集合中的點染成白色或黑色，使得任意一個與集合至少交于四個點的球面具有這樣的性質：這些交點中恰有一半的點為白色的.證明：集合中所有的點均在一個球面上，

【答案】見解析

【解析】

定義：為

由已知條件，知，其中，表示至少經過集合的四個點的任一球面.

對于集合中任意的三個不同的點、、，

用表示經過點、、且還至少經過集合中的另一個點的所有球面組成的集合，表示這些球面的個數(shù).

故.①

這是因為、、的值出現(xiàn)次，而其他的值只出現(xiàn)一次.

若存在三個點使得，則結論得證.

若對集合M中任意的三個不同的點、、，，先證明.

假設.則由式①知，所有的的組合共有種.

對所有的這些可能求和有，這與假設矛盾.

同理，若，也會推出矛盾.

接下來，由及式①，得出對集合中任意的三個不同的點、、，有.

取另一個點，得到下列等式：

，，

，.

由此，容易推出，這與的定義矛盾.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標系中,以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為；直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)）.直線與曲線分別交于兩點.

（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

（2）若點的極坐標為，，求的值.

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【題目】將“馬”“上”“成”“功”這四個字填在一個5×5的方格表中，每個小方格內至多填1個字，“馬”“上”始終按從左往右的順序填寫，“成”“功”也始終按從左往右的順序填寫，且“馬”“上”必須在同一行或按從上往下的順序在同一列，或者“成”“功”必須在同一行或按從上往下的順序在同一列。則不同的填法種數(shù)為_______(用數(shù)字作答)。

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【題目】某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B，及CD的中點P處，已知km,,為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A，B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為ykm．

（I）按下列要求寫出函數(shù)關系式：

①設，將表示成的函數(shù)關系式；

②設，將表示成的函數(shù)關系式．

（Ⅱ）請你選用（I）中的一個函數(shù)關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短．

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【題目】已知正整數(shù)滿足，.令， ， .對任意的，記，其中，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，表示集合中元素的個數(shù).證明：

（1）；

（2）.

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【題目】已知拋物線的焦點為，其準線與軸的交點為，過點作直線與拋物線交于兩點．若以為直徑的圓過點，則的值為________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)ae2x+(a﹣2) ex﹣x.

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個零點，求a的取值范圍.

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【題目】某工廠利用隨機數(shù)表對產生的個零件進行抽樣測試，先將個零件進行編號，編號分別為，，…，，.從中抽取個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第行到第行；

若從表中第行第列開始向右依次讀取個數(shù)據(jù)，則得到的第個樣本編號是（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)

的零點個數(shù)為（ ）

A. B.

C. D.

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