Question

等比數(shù)列{a_n}的公比0＜q＜1，a₁₇²=a₂₄，則使a₁+a₂+…+a_n＞

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

成立的正整數(shù)n的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)不等式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)首項(xiàng)為a₁，公比為q，依題意有（a₁q¹⁶）²=a₁q²³，
∴a₁q⁹=1．則a₁＞0，且a₁=q^-9，
∵{a_n}為等比數(shù)列，∴{

1

an

}是以

1

a1

為首項(xiàng)，

1

q

為公比的等比數(shù)列．
則不等式等價(jià)為

a1(1-qn)

1-q

＞

1 a1 (1-( 1 q )n)

1- 1 q

，
∵0＜q＜1，把a(bǔ)₁=q^-9，即a₁²=q^-18代入整理，
得q^-18（1-qⁿ）＞q^1-n（1-qⁿ），
∴q^-18＞q^1-n，
∴-18＜1-n，
即n＜19，
∵n∈N_*，∴n的最大值為18．
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的應(yīng)用，考查數(shù)列與不等式的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．