Question

18．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且滿足f（x+2）=-f（x）．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=$\frac{1}{2}$x，求使f（x）=-$\frac{1}{2}$在[0，2009]上的所有x的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)周期性的定義即可證明f（x）是周期函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性的關(guān)系求出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的圖象，作出函數(shù)f（x）和y=-$\frac{1}{2}$的圖象，觀察兩個圖象在一個周期內(nèi)的交點個數(shù)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵f（x+2）=-f（x）．
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)．
解：（2）若-1≤x≤0，則0≤-x≤1，
則f（-x）=-$\frac{1}{2}$x，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-$\frac{1}{2}$x=-f（x），
即f（x）=$\frac{1}{2}$x，-1≤x≤0，
即f（x）=$\frac{1}{2}$x，-1≤x≤1，
若1≤x≤3，則-1≤x-2≤1，
∵f（x+2）=-f（x）．
∴f（x）=-f（x-2）．
即當(dāng)1≤x≤3時，f（x）=-f（x-2）=-$\frac{1}{2}$（x-2）．
作出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象如圖：
若f（x）=-$\frac{1}{2}$，在在一個周期[0，4]內(nèi)只有一個根x=3，
∵2009=4×502+1，
∴在[0，2009]上共有502個周期，
∴使f（x）=-$\frac{1}{2}$在[0，2009]上的所有x的個數(shù)為502．

點評 本題主要考查函數(shù)周期性的判斷，以及函數(shù)交點個數(shù)的求解，利用函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系，求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．