Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分別是PB、AD的中點(diǎn)，PD=2．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）求三棱錐B-AEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)G，證明四邊形EFGD是平行四邊形，可得EF∥GD，證得EF∥平面PDC．
（Ⅱ）取BD中點(diǎn)O，可證EO⊥底面ABCD，利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐B-AEF的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，GD，則EG∥BC，EG=

1

2

BC，
∴GE∥DF
∴四邊形EFGD是平行四邊形，∴EF∥GD，
又EF?平面PDC，DG?平面PDC
∴EF∥平面PDC．
（2）解：取BD中點(diǎn)O，連接EO，則EO∥PD，
∵PD⊥平面ABCD，∴EO⊥底面ABCD，EO=1，
∴VB-AEF=VE-ABF=

1

3

S△ABF•OE=

1

3

•

1

4

•22•1=

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行、線線垂直的方法，求棱錐的體積，取PC的中點(diǎn)G和取BD中點(diǎn)O是解題的關(guān)鍵．