Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax²+（2-a²）x-alnx，（a∈R）．
（1）a=-1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）當函數(shù)f（x）恰有一個零點時，分析a的取值情況．

Answer 1

分析 （1））函數(shù)f（x）=-x²+x+lnx，（x＞0）．f′（x）=-2x+1+$\frac{1}{x}$=$\frac{-2{x}^{2}+x+1}{x}$=-$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，求出單調(diào)性，從而求得極值．
（2）f′（x）=2ax$-\frac{a}{x}$+2-a²=$\frac{（ax+1）（2x-a）}{x}$
分①當a=0，②當a＞0 ③當a＜0討論．
（3）分①當a=0，②當a＞0，③當a＜0 討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）恰有一個零點時，a的取值情況．

解答 解：（1）a=-1時，函數(shù)f（x）=-x²+x+lnx，（x＞0）．
f′（x）=-2x+1+$\frac{1}{x}$=$\frac{-2{x}^{2}+x+1}{x}$=-$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）_極大值=f（1）=0，無極小值．
（2）f′（x）=2ax$-\frac{a}{x}$+2-a²=$\frac{（ax+1）（2x-a）}{x}$
①當a=0時，f（x）=2x，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②當a＞0時，$\frac{a}{2}＞0$，-$\frac{1}{a}＜0$，
x$∈（0，\frac{a}{2}$）時，f′（x）＜0，x$∈（\frac{a}{2}，+∞）$時，f′（x）＞0．
此時，f（x）的減區(qū)間為（0，$\frac{a}{2}$），增區(qū)間為：（$\frac{a}{2}$，+∞）．
 ③當a＜0時，$\frac{a}{2}$＜0，-$\frac{1}{a}$＞0，f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）遞增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減．
（3）①當a=0時，f（x）=2x，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）沒有零點
②當a＞0時，f（x）的減區(qū)間為（0，$\frac{a}{2}$），增區(qū)間為：（$\frac{a}{2}$，+∞），
∵x→0時，f（x）→+∞，x→+∞時，f（x）→+∞，
當函數(shù)f（x）恰有一個零點時，只需f（$\frac{a}{2}$）=$a（1-\frac{{a}^{2}}{4}-ln\frac{a}{2}）=0$，解得a=2．
 ③當a＜0時，f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）遞增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減．
∵x→0時，f（x）→-∞，x→+∞時，f（x）→-∞，
當函數(shù)f（x）恰有一個零點時，只需$f（-\frac{1}{a}）=a[1-\frac{1}{{a}^{2}}+ln（-a）]=0$，
解得a=-1．
綜上：a的取值為2或-1．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用，考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．