Question

17．已知$\overrightarrow a=（{\sqrt{3}sinx，cosx}）$，$\overrightarrow b=（{cosx，cosx}）$，f（x）=2$\overrightarrow a•\overrightarrow b+2m-1（{x，m∈R}）$
（1）當(dāng)x∈R時，f（x）有最大值6，求m的值；
（2）在（1）的條件下，求f（x）單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）=2$\overrightarrow a•\overrightarrow b+2m-1（{x，m∈R}）$，化簡可得f（x）的關(guān)系式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

解答 解：$\overrightarrow a=（{\sqrt{3}sinx，cosx}）$，$\overrightarrow b=（{cosx，cosx}）$，
∴$f（x）=2\overrightarrow a•\overrightarrow b+2m-1=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x+2m-1$，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2m．
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2m．
（1）當(dāng)x∈R時，f（x）有最大值6，
∴2+2m=6．
可得：m=2．
（2）由（1）可知$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+4$，
令$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$
得：$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]，k∈Z$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．