Question

8．已知曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ是參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點A，B，C，D的極坐標分別為（2，$\frac{π}{6}$）、（2，$\frac{5π}{6}$）、（2，$\frac{7π}{6}$）、（2，$\frac{11π}{6}$）
（Ⅰ）求點A，B，C，D的直角坐標；
（Ⅱ）設P為C上任意一點，求|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用互化公式即可得出．
（Ⅱ）設P（2cosθ，sinθ），可得S=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²=20+12cos²θ，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）點A，B，C，D的直角坐標分別為A（$\sqrt{3}$，1），B（-$\sqrt{3}$，1），
C（-$\sqrt{3}$，-1），D（$\sqrt{3}$，-1）．
（Ⅱ）設P（2cosθ，sinθ），令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²，
則S=16cos²θ+4sin²θ+16=20+12cos²θ，∵0≤cos²θ≤1，∴S的取值范圍是[20，32]．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標、兩點之間距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．