Question

13．如圖，在底角為45°的等腰梯形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{DC}$，M，N分別為CD，BC的中點．設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=3，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的三角形法則表示；
（2）求出|$\overrightarrow$|，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，把（1）的結(jié)果代入計算即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}+$$\overrightarrow{DM}$=$\overrightarrow{AD}+$$\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}+$$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow+\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$．
（2）過D作AB的垂線DE，則DE=AE=$\frac{1}{2}$（AB-DC）=1，
∴|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3×$\sqrt{2}×$cos45°=3．
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（$\frac{1}{6}\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•（$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$）=$\frac{1}{9}{\overrightarrow{a}}^{2}$+$\frac{1}{2}$${\overrightarrow}^{2}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1+1+$\frac{9}{4}$=$\frac{17}{4}$．

點評 本題考查了平面向量的線性運算，數(shù)量積運算，屬于中檔題．