Question

已知y=f（x）（x∈D，D為此函數(shù)的定義域）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①函數(shù)f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②如果存在區(qū)間[a，b]⊆D，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，那么稱y=f（x），x∈D為閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=x²（x∈[0，+∞））符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）若y=k+

x

（k＜0）是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)閉函數(shù)的定義知，對(duì)于閉函數(shù)y=x²，解出

y=x2 y=x

中的x值即得區(qū)間[a，b]；
（2）根據(jù)閉函數(shù)的定義，先通過求導(dǎo)判斷該函數(shù)的單調(diào)性，而要滿足條件②，只需方程x=k+

x

有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，將該方程變成一元二次方程，根據(jù)判別式△及韋達(dá)定理即可得到k的取值范圍．

解答： 解：（1）根據(jù)閉函數(shù)的定義，解

y=x2 y=x

，x∈[0，+∞），得：x=0，或1；
∴該閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間[a，b]=[0，1]；
（2）y′=

1

2 x

＞0；
∴函數(shù)y=k+

x

在[0，+∞）上是增函數(shù)，符合條件①；
由

y=x y=k+ x

得，x²-（2k+1）x+k²=0；
要滿足條件②，該方程在[0，+∞）上需有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
∴

(2k+1)2-4k2＞0 2k+1＞0 k2≥0

，解得k＞-

1

4

，又k＜0；
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-

1

4

，0）．

點(diǎn)評(píng)：考查對(duì)閉函數(shù)定義的理解，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，一元二次方程有兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)的△的取值情況，以及韋達(dá)定理．