Question

已知實數(shù)x，y滿足

x≥1 y≥1 x+y≤5

時，z=

x

a

+

y

b

（a≥b＞0）的最大值為1，則a+b的最小值為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z=

x

a

+

y

b

（a≥b＞0）的最大值為1，得到a，b的關(guān)系，利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=

x

a

+

y

b

（a≥b＞0）得y=-

b

a

x+bz，
∵a≥b＞0，
∴直線斜率k=-

b

a

∈[-1，0），
平移直線y=-

b

a

x+bz，當直線y=-

b

a

x+bz經(jīng)過點A時，y=-

b

a

x+bz的截距最大，此時z最大為1，
由

x=1 x+y=5

，解得

x=1 y=4

，即A（1，4），
此時

1

a

+

4

b

=1，
∴a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）
=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=5+4=9，
當且僅當

b

a

=

4a

b

即b=2a時取等號，
但此時不滿足a≥b，
∴基本不等式不成立，
設(shè)t=

b

a

，∵a≥b＞0，∴0＜t≤1，
則g（t）=5+t+

4

t

在（0，1]上是單調(diào)遞減的，
∴當t=1時，g（t）=5+t+

4

t

取得最小值g（1）=5+1+4=10
∴a+b的最小值為10，
故答案為：10．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃和基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．當基本不等式不成立時，要使用函數(shù)f（x）=x+

a

x

，a＞0的單調(diào)性來解決．