Question

16．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，T_n是其前n項(xiàng)的乘積，若25（a₁+a₃）=1，a₅=27a₂，當(dāng)T_n取得最小值時(shí)，n=6．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公比，從而求出${a}_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{250}$，由此能求出當(dāng)T_n取得最小值時(shí)，n的值．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}的公比為q，T_n是其前n項(xiàng)的乘積，若25（a₁+a₃）=1，a₅=27a₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{25（{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}）=1}\\{{a}_{1}{q}^{4}=27{a}_{1}q}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=\frac{1}{250}$，q=3，
∴${a}_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{250}$，
當(dāng)a_n=$\frac{{3}^{n-1}}{250}$≥1時(shí)，n＞7，${a}_{6}=\frac{243}{250}$＜1，
∴當(dāng)T_n取得最小值時(shí)，n=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積最小項(xiàng)數(shù)n的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．