Question

記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，給出兩個(gè)數(shù)列：

(Ⅰ)5,3,1，－1，－3，－5，－7，…

(Ⅱ)－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…

(1)對(duì)于數(shù)列(Ⅰ)，計(jì)算S₁，S₂，S₄，S₅；

對(duì)于數(shù)列(Ⅱ)，計(jì)算S₁，S₃，S₅，S₇；

(2)根據(jù)上述結(jié)果，對(duì)于存在正整數(shù)k，滿足a_k＋a_k＋1＝0的這一類等差數(shù)列{a_n}的和的規(guī)律，猜想一個(gè)正確的結(jié)論，并加以說明．

Answer 1

解　(1)對(duì)于數(shù)列(Ⅰ)，S₁＝S₅＝5，S₂＝S₄＝8；

對(duì)于數(shù)列(Ⅱ)，S₁＝S₇＝－14，S₃＝S₅＝－30.

(2)對(duì)于等差數(shù)列{a_n}，當(dāng)a_k＋a_k＋1＝0時(shí)，

猜想S_n＝S_2k－n(n≤2k，n，k∈N^*)．

下面給出證明：

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)為a₁，公差為d.

∵a_k＋a_k＋1＝0，∴a₁＋(k－1)d＋a₁＋kd＝0，

∴2a₁＝(1－2k)d.

∴S_2k－n＝S_n，猜想正確．