Question

15．設(shè)p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{2}$-p	p	$\frac{1}{2}$

則D（ξ）的最大值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)所給的分布列的性質(zhì)，即每一個(gè)概率都在[0，1）之間，寫出關(guān)于概率P的不等式組，解出P的范圍，寫出期望和方差的表示式，根據(jù)P的范圍，求出最值．

解答 解：由隨機(jī)變量ξ的分布列的性質(zhì)，得：
$\left\{\begin{array}{l}{0≤\frac{1}{2}-p≤1}\\{0≤p≤1}\end{array}\right.$，解得0≤p$≤\frac{1}{2}$，
∴Eξ=p+1，
Dξ=（0-p-1）²×$\frac{1}{2}$+（1-p-1）²×p+（2-p-1）²×$\frac{1}{2}$=-p²-p+1=-（p+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$．
∴當(dāng)P=0時(shí)，Dξ取最大值（Dξ）_max=-$\frac{1}{4}+\frac{5}{4}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的最大值和方差的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意分布列的性質(zhì)和配方法的合理運(yùn)用．