Question

7．（1，3班做）一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB，設(shè)B點與地面間的距離為h．
（1）求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車離地面8米時用的最少時間是多少？

Answer 1

分析 （1）以圓心O為原點，以水平方向為x軸方向，以豎直方向為Y軸方向建立平面直角坐標(biāo)系，則根據(jù)纜車半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動一圈，即可得到h與θ間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由60秒轉(zhuǎn)動一圈，我們易得點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是$\frac{π}{30}$，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為$\frac{π}{30}$t，根據(jù)（1）的結(jié)論，我們將$\frac{π}{30}$t代入解析式，即可得到滿足條件的t值．

解答 解：（1）以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為θ-$\frac{π}{2}$，
故點B的坐標(biāo)為（4.8cos（θ-$\frac{π}{2}$），4.8sin（θ-$\frac{π}{2}$）），∴h=5.6+4.8sin（θ-$\frac{π}{2}$）．
（2）點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是$\frac{π}{30}$，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為$\frac{π}{30}$t，
∴h=5.6+4.8sin$（\frac{π}{30}t-\frac{π}{2}）$，t∈[0，+∞）．
當(dāng)h=8m．
由h=5.6+4.8sin$（\frac{π}{30}t-\frac{π}{2}）$=8，
得4.8sin$（\frac{π}{30}t-\frac{π}{2}）$=2.4
sin$（\frac{π}{30}t-\frac{π}{2}）$=$\frac{1}{2}$
得$\frac{π}{30}$t-$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{6}$，
即$\frac{π}{30}$t=$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$，
∴t=20
∴纜車離地面8米時用的最少時間是20秒．

點評 本題考查的知識點是在實際問題中建立三角函數(shù)模型，在建立函數(shù)模型的過程中，以圓心O為原點，以水平方向為x軸方向，以豎直方向為Y軸方向建立平面直角坐標(biāo)系，是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．