Question

5．已知曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立平面直角坐標系，曲線C₂的極坐標方程是ρ=-4cosθ．
（1）求曲線C₁和C₂交點的直角坐標；
（2）A、B兩點分別在曲線C₁與C₂上，當|AB|最大時，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y-2=2sinθ\end{array}\right.$，兩式平方作和可得直角坐標方程，由ρ=-4cosθ可得：ρ²=ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入可得直角坐標方程，聯(lián)立解得交點坐標．
（2）由平面幾何知識可知，當A、C₁、C₂、B依次排列且共線時|AB|最大，此時$|{AB}|=2\sqrt{2}+4$，O到直線AB的距離為$\sqrt{2}$，即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y-2=2sinθ\end{array}\right.$
兩式平方作和得：x²+（y-2）²=4，即x²+y²-4y=0．①
由ρ=-4cosθ⇒ρ²=ρcosθ，即x²+y²=-4x②
②-①：x+y=0，代入曲線C₁的方程得交點為（0，0）和（-2，2）．
（2）由平面幾何知識可知，當A、C₁、C₂、B依次排列且共線時|AB|最大，此時$|{AB}|=2\sqrt{2}+4$，O到直線AB的距離為$\sqrt{2}$，
∴△OAB的面積為：$S=\frac{1}{2}×（{2\sqrt{2}+4}）×\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標、參數(shù)方程化為普通方程、曲線交點坐標、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．