Question

已知曲線： （為參數(shù)），：（為參數(shù)）．

（1）化，的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（2）若上的點對應的參數(shù)為，為上的動點，求中點到直線：（為參數(shù)）距離的最小值．

 

Answer 1

（1）：，為圓心是，半徑是1的圓．曲線：． 為中心是坐標原點，焦點在軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓；（2）

【解析】

試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)基本關系式中的平方關系消去曲線和曲線參數(shù)方程的參數(shù)即可得到其普通方程，根據(jù)普通方程就可以說明其表示的曲線類型；（2）將代入曲線的參數(shù)方程求出P點坐標，用曲線的參數(shù)方程，設出Q坐標，求出PQ的中點M的坐標，將曲線的方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式，求出M點到曲線的距離，利用設輔助角的方法，求出距離的最小值.

試題解析：（1）由曲線：（為參數(shù)）得，

兩式平方相加消去參數(shù)，得曲線的普通方程為：．為圓心是，半徑是1的圓． 3分

由曲線：（為參數(shù)）得，

兩式平方相加消去參數(shù)，得曲線的普通方程為：． 為中心是坐標原點，焦點在軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓． 6分

（2）因為上的點對應的參數(shù)為，故，又為上的點，所以，故中點為．

由：（為參數(shù)）消去參數(shù)知，為直線，則到的距離．.5.u.c.o.m

從而當，時，取得最小值． 12分

考點:圓的參數(shù)方程，橢圓的參數(shù)方程，直線的參數(shù)方程，點到直線的距離公式，三角變換與三角函數(shù)性質