Question

19．（1）設中心在原點的橢圓與雙曲線2x²-2y²=1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數，求該橢圓的標準方程．
（2）求以橢圓3x²+13y²=39的焦點為焦點，以直線y=±$\frac{x}{2}$為漸近線的雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的焦點和離心率即可得到結論．
（2）根據雙曲線和橢圓的關系進行求解即可．

解答 解：（1）∵雙曲線2x²-2y²=1的離心率為$\sqrt{2}$，
∴所求橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又焦點為（±1，0），∴所求橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}$+y²=1．（4分）
（2）橢圓3x²+13y²=39可化為$\frac{x^2}{13}$+$\frac{y^2}{3}$=1，
其焦點坐標為（±$\sqrt{10}$，0），
∴所求雙曲線的焦點為（±$\sqrt{10}$，0），
設雙曲線方程為：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）
∵雙曲線的漸近線為y=±$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{b^2}{a^2}$=$\frac{{{c^2}-{a^2}}}{a^2}$=$\frac{{10-{a^2}}}{a^2}$=$\frac{1}{4}$，
∴a²=8，b²=2，
即所求的雙曲線方程為：$\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}=1$．（12分）

點評 本題主要考查橢圓和雙曲線的方程和性質，根據橢圓和雙曲線焦點之間的關系建立方程關系是解決本題的關鍵．