Question

已知函數(shù)f（x）=x²+4x+3，
（1）若f（a+1）=0，求a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+cx為偶函數(shù)，求c的值；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+cx在區(qū)間[-2，2]上是單調(diào)的，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接由f（a+1）=0求解關(guān)于a的一元二次方程得答案；
（2）由函數(shù)為偶函數(shù)，可得f（-1）=f（1），代入原函數(shù)列關(guān)于c的方程得答案；
（3）由函數(shù)g（x）=x²+（4+c）x+3的對(duì)稱(chēng)軸小于等于-2或大于等于2得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+4x+3，
由f（a+1）=0，得（a+1）²+4（a+1）+3=0，
解得：a=-2或a=-4；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）+cx=x²+4x+3+cx=x²+（4+c）x+3，
若為偶函數(shù)，
則f（-1）=f（1），
即（-1）²-（4+c）+3=1²+4+c+3，
解得：c=-4；
（3）函數(shù)g（x）=f（x）+cx=x²+（4+c）x+3在區(qū)間[-2，2]上是單調(diào)的，
則其對(duì)稱(chēng)軸-

4+c

2

≤-2或-

4+c

2

≥2．
解得：c≤-8或c≥0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，考查了二次函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，是中檔題．