Question

10．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{x}{2}$）ⁿ的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中含有$\sqrt{{x}^{11}}$的項的二項式系數(shù)及項的系數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)（$\sqrt{x}$+$\frac{x}{2}$）ⁿ的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求出n的值，再利用二項式展開式的通項公式求出展開式中含有$\sqrt{{x}^{11}}$的項是第幾項，從而求出二項式系數(shù)以及對應(yīng)項的系數(shù)．

解答 解：（$\sqrt{x}$+$\frac{x}{2}$）ⁿ的展開式中，前三項分別為${C}_{n}^{0}$${（\sqrt{x}）}^{n}$${（\frac{x}{2}）}^{0}$=${x}^{\frac{n}{2}}$，
${C}_{n}^{1}$${（\sqrt{x}）}^{n-1}$$\frac{x}{2}$=$\frac{n}{2}$•${x}^{\frac{n+1}{2}}$，
${C}_{n}^{2}$${（\sqrt{x}）}^{n-2}$${（\frac{x}{2}）}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{8}$•${x}^{\frac{n+2}{2}}$；
它們的系數(shù)1、$\frac{n}{2}$、$\frac{n（n-1）}{8}$成等差數(shù)列，
∴2×$\frac{n}{2}$=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，
整理，得n²-9n+8=0，
解得n=8或n=1（舍去）；
∴${（\sqrt{x}+\frac{x}{2}）}^{8}$展開式的通項為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$${（\sqrt{x}）}^{8-r}$${（\frac{x}{2}）}^{r}$=${C}_{8}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{\frac{8+r}{2}}$，
令$\frac{8+r}{2}$=$\frac{11}{2}$，
解得r=3；
∴${C}_{8}^{3}$=56，
${C}_{8}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=56×$\frac{1}{8}$=7；
即展開式中含有$\sqrt{{x}^{11}}$的項的二項式系數(shù)是56，
項的系數(shù)是7．

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，也考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，考查了計算能力與邏輯思維能力的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．