Question

20．已知函數(shù)f（x）=2lnx+$\frac{a}{lnx}$（a∈R）．
（1）若f（e）=1，求a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的定義域；
（3）若對(duì)任意的x≥e，不等式f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若f（e）=1，代入，即可求a的值；
（2）利用函數(shù)表達(dá)式，即可求函數(shù)y=f（x）的定義域；
（3）若對(duì)任意的x≥e，不等式f（x）≥1恒成立，則對(duì)任意x≥e，不等式a≥lnx-2ln²x恒成立，求最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（e）=2lne+$\frac{a}{lne}$=2+a=1，∴a=-1；
（2）由題意，函數(shù)y=f（x）的定義域是（0，1）∪（1，+∞）；
（3）已知對(duì)任意的x≥e，不等式f（x）≥1恒成立，則2lnx+$\frac{a}{lnx}$≥1，
即對(duì)任意x≥e，不等式a≥lnx-2ln²x恒成立．
令t=lnx（t≥1），y=lnx-2ln²x=t-2t²=-2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$
∵t≥1，∴y≤-1
∴a≥-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．