Question

14．當(dāng)0＜a＜2時，直線l₁：ax-2y=2a-4，直線${l_2}：2x+{a^2}y=2{a^2}+4$與坐標(biāo)軸圍成的一個四邊形，求該四邊形面積的最小值以及取得最小值時的a的值．

Answer 1

分析 如圖所示，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ax-2y=2a-4}\\{2x+{a}^{2}y=2{a}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得y_E=2．根據(jù)S_{四邊形OCEA}=S_△BCE-S_△OAB即可得出．

解答 解：∵0＜a＜2，
可得l₁：ax-2y=2a-4，與坐標(biāo)軸的交點A（0，-a+2），B（2-$\frac{4}{a}$，0）．
l₂：2x+a²y=2a²+4，與坐標(biāo)軸的交點C（a²+2，0），D（0，2+$\frac{4}{{a}^{2}}$）．
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{ax-2y=2a-4}\\{2x+{a}^{2}y=2{a}^{2}+4}\end{array}\right.$，
解得y_E=2．
∴S_{四邊形OCEA}=S_△BCE-S_△OAB
=$\frac{1}{2}$|BC|•y_E-$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|
=a²+$\frac{4}{a}$-$\frac{1}{2}$×（2-a）×（$\frac{4}{a}$-2）
=a²-a+4
=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{15}{4}$≥$\frac{15}{4}$，當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴l(xiāng)₁，l₂與坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積的最小值為$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查了相交直線、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．