Question

18．定義：對(duì)于函數(shù)f（x），若存在非零常數(shù)M，T，使函數(shù)f（x）對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，都有f（x+T）-f（x）=M，則稱(chēng)函數(shù)f（x）是廣義周期函數(shù)，稱(chēng)T為函數(shù)f（x）的廣義周期，稱(chēng)M為周距
（1）證明函數(shù)f（x）=x²不是廣義周期函數(shù)；
（2）試判斷函數(shù)f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）（k、A、ω、φ為常數(shù)，k≠0，A＞0，ω＞0）是否為廣義周期函數(shù)，若是，請(qǐng)求出它的一個(gè)廣義周期T和周距M，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)滿(mǎn)足題意，由廣義周期的定義推理可得T=M=0的矛盾；
（2）函數(shù)f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）是廣義周期函數(shù)，且$T=\frac{2π}{ω}，M=\frac{2kπ}{ω}$，由廣義周期的定義證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²的定義域?yàn)镽，
由廣義周期的定義可得f（x+T）-f（x）=（x+T）²-x²
=2Tx+T²=M對(duì)x∈R恒成立，比較系數(shù)可得$\left\{\begin{array}{l}2T=0\\{T^2}=M\end{array}\right.$，
解得T=M=0，這與M，T均為非零常數(shù)矛盾，
故f（x）=x²不是廣義周期函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）是廣義周期函數(shù)，且$T=\frac{2π}{ω}，M=\frac{2kπ}{ω}$．證明如下：
∵$f（{x+\frac{2π}{ω}}）-f（x）$=$k（{x+\frac{2π}{ω}}）+b+Asin[{ω（{x+\frac{2π}{ω}}）+φ}]-[{kx+b+Asin（{ωx+φ}）}]=\frac{2kπ}{ω}$（非零常數(shù)），
由廣義周期的定義可得．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的周期性，涉及新定義和三角函數(shù)的知識(shí)，屬中檔題．