Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+Φ）+cos（ωx+Φ）（ω＞0，|Φ|＜$\frac{π}{2}$的最小正周期為π，且對(duì)?x∈R，f（x）≤f（0），則（　�。�

• A． f（x）在$（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$單調(diào)遞增
• B． f（x）在$（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$單調(diào)遞減
• C． f（x）在$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$單調(diào)遞增
• D． f（x）在$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$單調(diào)遞減

Answer 1

分析 由題意，化簡(jiǎn)可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+Φ+$\frac{π}{4}$），利用周期公式可求ω．由f（x）≤f（0）恒成立，結(jié)合φ的范圍，可求φ，求得其單調(diào)遞減區(qū)間，比較各個(gè)選項(xiàng)即可得解．

解答 解：由f（x）=sin（ωx+Φ）+cos（ωx+Φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+Φ+$\frac{π}{4}$），
由最小正周期為π，可得：$\frac{2π}{ω}$=π，解得：ω=2，可得：f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+Φ+$\frac{π}{4}$），
因?yàn)閒（x）≤f（0）恒成立，
所以f（x） _max=f（0），即Φ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），
由|φ|＜$\frac{π}{2}$，得φ=$\frac{π}{4}$，
故f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cos2x．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，
令k=0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[0，$\frac{π}{2}$]，
由于$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$?[0，$\frac{π}{2}$]，
故f（x）在$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$單調(diào)遞減．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．