Question

13．已知函數(shù)$y=x+\frac{t}{x}$有如下性質(zhì)：當(dāng)t＞0時，在$（0，\sqrt{t}）$單調(diào)遞減，在$（\sqrt{t}，+∞）$單調(diào)遞增．
（Ⅰ）若$f（x）=\frac{{4{x^2}-12x-3}}{2x+1}，x∈[0，1]$，利用上述性質(zhì)求f（x）的單調(diào)區(qū)間（不用證明）和值域；
（Ⅱ）對于（Ⅰ）中的f（x）和g（x）=-x-2a，若對任意x₁∈[0，1]，均存在x₂∈[0，1]，使g（x₂）=f（x₁），求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將f（x）變形，從而根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的值域；（Ⅱ）求出g（x）的值域，得到關(guān)于a的不等式組，求出a的值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（2x+1）+$\frac{4}{2x+1}$-8，
∵x∈[0，1]，∴2x+1＞0，
∴f（x）≥2$\sqrt{（2x+1）•\frac{4}{2x+1}}$-8=-4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時取“=”，
故f（x）在[0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，1]遞增，
而f（0）=-3，f（1）=-$\frac{11}{3}$，
故f（x）的值域是[-4，-3]；
（Ⅱ）g（x）=-x-2a在[0，1]遞減，
g（x）_min=-2a-1，g（x）_max=-2a，
故g（x）的值域是[-2a-1，-2a]，
若對任意x₁∈[0，1]，均存在x₂∈[0，1]，使g（x₂）=f（x₁），
只需$\left\{\begin{array}{l}{-2a-1≤-4}\\{-2a≥-3}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、值域問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．