Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-6|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若存在x使不等式f（x）-2|x-1|≤a成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由不等式f（x）=|2x-6|≤x，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{-x≤2x-6≤x}\end{array}\right.$，由此求得x的范圍．
（Ⅱ）由題意可得 $\frac{a}{2}$≥|x-3|-|x-1|，利用絕對值的意義求得|x-3|-|x-1|的最小值，可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由不等式f（x）=|2x-6|≤x，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{-x≤2x-6≤x}\end{array}\right.$ 
求得2≤x≤6，故不等式的解集為{x|2≤x≤6}．
（Ⅱ）若存在x使不等式f（x）-2|x-1|≤a成立，即a≥|2x-6|-2|x-1|，
即$\frac{a}{2}$≥|x-3|-|x-1|．
而|x-3|-|x-1|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到3對應(yīng)點的距離減去它到1對應(yīng)點的距離，
它的最小值為-2，∴$\frac{a}{2}$≥-2，即 a≥-4，故實數(shù)a的取值范圍為[-4，+∞）．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值的意義，函數(shù)的能成立問題，屬于中檔題．