Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A，B是橢圓上不同的兩點且△F₁AF₂的周長為2（$\sqrt{2}$+1）
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若A，B關(guān)于直線y=mx+$\frac{1}{2}$對稱，求△AOB面積取最大值時m的值（O為坐標(biāo)原點）

Answer 1

分析 （1）由橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，△F₁AF₂的周長為2（$\sqrt{2}$+1），列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由題意知m≠0，設(shè)直線AB的方程為$y=-\frac{1}{m}x+b$，與橢圓聯(lián)立，得（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{m}^{2}}$）x²-$\frac{2b}{m}x$+b²-2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式，結(jié)合已知條件能求出m=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$時，△AOB面積取最大值$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
A，B是橢圓上不同的兩點且△F₁AF₂的周長為2（$\sqrt{2}$+1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2a+2c=2（\sqrt{2}+1）}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）由題意知m≠0，設(shè)直線AB的方程為$y=-\frac{1}{m}x+b$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=-\frac{1}{m}x+b}\end{array}\right.$，得（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{m}^{2}}$）x²-$\frac{2b}{m}x$+b²-2=0，
∵直線y=-$\frac{1}{m}x+b$與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1有兩個不同的交點，
∴△=$\frac{4^{2}}{{m}^{2}}$-4（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{m}^{2}}$）（b²-2）=-2b²+4+$\frac{8}{{m}^{2}}$＞0，①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4mb}{{m}^{2}+2}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2^{2}{m}^{2}-4{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$，
y₁+y₂=-$\frac{1}{m}$（x₁+x₂）+2b=$\frac{2{m}^{2}b}{{m}^{2}+2}$，
將AB的中點M（$\frac{2mb}{{m}^{2}+2}$，$\frac{{m}^{2}b}{{m}^{2}+2}$）代入直線方程y=mx+$\frac{1}{2}$，解得b=-$\frac{{m}^{2}+2}{2{m}^{2}}$，②
由①②解得m＜-$\frac{\sqrt{14}}{7}$或m＞$\frac{\sqrt{14}}{7}$，
令t=$\frac{1}{m}$∈（-$\frac{\sqrt{14}}{2}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{14}}{2}$），
則|AB|=$\sqrt{{t}^{2}+1}$•$\sqrt{（\frac{4mb}{{m}^{2}+2}）^{2}-4×\frac{2^{2}{m}^{2}-4{m}^{2}}{{m}^{2}+2}}$
=$\sqrt{{t}^{2}+1}$•$\frac{\sqrt{-2{t}^{4}+6{t}^{2}+\frac{7}{2}}}{{t}^{2}+\frac{1}{2}}$，
O到直線AB的距離d=$\frac{{t}^{2}+\frac{1}{2}}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$，
∴△AOB面積S=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}×\sqrt{{t}^{2}+1}×\frac{\sqrt{-2{t}^{4}+6{t}^{2}+\frac{7}{2}}}{{t}^{2}+\frac{1}{2}}×\frac{{t}^{2}+\frac{1}{2}}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{-2{t}^{4}+6{t}^{2}+\frac{7}{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-2（{t}^{2}-\frac{3}{2}）^{2}+8}$≤$\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)t²=$\frac{3}{2}$，即m²=$\frac{2}{3}$，m=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$時，△AOB面積取最大值$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查三角形面積取最大值時實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式的合理運用．