Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a${\;}_{n+1}^{2}$=a_na_n+2（a_n≠0），0＜a₁＜a₆=1，則使不等式a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$+a₂-$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+a_n-$\frac{1}{{a}_{n}}$≤0恒成立的n的最大值是11．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a${\;}_{n+1}^{2}$=a_na_n+2（a_n≠0），可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=q≠0，可得：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．由0＜a₁＜a₆=1=${a}_{1}{q}^{5}$，可得q≠±1．a(chǎn)₁a₁₁=a₂a₁₀=…=a₅a₇=${a}_{6}^{2}$=1，n≥12時，a_n=${a}_{6}{q}^{n-6}$≠1．因此a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$+${a}_{11}-\frac{1}{{a}_{11}}$=a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{1}}$-a₁=0=…，即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a${\;}_{n+1}^{2}$=a_na_n+2（a_n≠0），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=q≠0，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
∵0＜a₁＜a₆=1=${a}_{1}{q}^{5}$，∴q≠±1．
∴a₁a₁₁=a₂a₁₀=…=a₅a₇=${a}_{6}^{2}$=1，
n≥12時，a_n=${a}_{6}{q}^{n-6}$≠1．
∴a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$+${a}_{11}-\frac{1}{{a}_{11}}$=a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{1}}$-a₁=0，
…，
則使不等式a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$+a₂-$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+a_n-$\frac{1}{{a}_{n}}$≤0恒成立的n的最大值是11．
故答案為：11．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．