Question

7．已知m≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}+1}$在x∈（1，3）時(shí)無解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=$\frac{2x+1}{{x}^{2}+1}$，x∈（1，3），令t=2x+1，3＜t＜7，可得t的函數(shù)，運(yùn)用變量分離法，可得函數(shù)的值域，結(jié)合條件可得m的范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=$\frac{2x+1}{{x}^{2}+1}$，x∈（1，3），
令t=2x+1，3＜t＜7，
則f（x）=$\frac{t}{\frac{（t-1）^{2}}{4}+1}$
=$\frac{4t}{{t}^{2}-2t+5}$=$\frac{4}{t+\frac{5}{t}-2}$，
由t+$\frac{5}{t}$在（3，7）遞增，
即有t+$\frac{5}{t}$∈（$\frac{14}{3}$，$\frac{54}{7}$），
則f（x）∈（$\frac{7}{10}$，$\frac{3}{2}$），
m≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}+1}$在x∈（1，3）時(shí)無解，
即有m≥$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與不等式的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)求出值域是解題的關(guān)鍵．