Question

20．以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ（$\sqrt{3}$cosθ-sinθ）=3$\sqrt{3}$，圓C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
（1）求直線l和圓C的直角坐標方程；
（2）P為直線l上一動點，當點P到圓心C的距離最小時，求點P的極坐標．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標方程為ρ（$\sqrt{3}$cosθ-sinθ）=3$\sqrt{3}$，利用互化公式可得直角坐標方程．圓C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{3}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）由x²+y²=2$\sqrt{3}$y可得圓心C$（0，\sqrt{3}）$，經(jīng)過圓心C與直線l垂直的直線方程為：y=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$x+$\sqrt{3}$，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（1）直線l的極坐標方程為ρ（$\sqrt{3}$cosθ-sinθ）=3$\sqrt{3}$，化為直角坐標方程：$\sqrt{3}$x-y-3$\sqrt{3}$=0．
圓C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{3}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ，化為直角坐標方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$y．
（2）由x²+y²=2$\sqrt{3}$y可得：${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=3，可得圓心C$（0，\sqrt{3}）$，半徑r=$\sqrt{3}$．
經(jīng)過圓心C與直線l垂直的直線方程為：y=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$x+$\sqrt{3}$，化為：x+$\sqrt{3}$y-3=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y-3=0}\\{\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，解得x=3，y=0，
∴ρ=3，tanθ=$\frac{y}{x}$=0．
∴P（3，0）．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．