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20.以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(3cosθ-sinθ)=33,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=23sinθ.
(1)求直線l和圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)P為直線l上一動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P到圓心C的距離最小時,求點(diǎn)P的極坐標(biāo).

分析 (1)直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(3cosθ-sinθ)=33,利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=23sinθ,即ρ2=23ρsinθ,利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程.
(2)由x2+y2=23y可得圓心C03,經(jīng)過圓心C與直線l垂直的直線方程為:y=-13x+3,聯(lián)立解出即可得出.

解答 解:(1)直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(3cosθ-sinθ)=33,化為直角坐標(biāo)方程:3x-y-33=0.
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=23sinθ,即ρ2=23ρsinθ,化為直角坐標(biāo)方程:x2+y2=23y.
(2)由x2+y2=23y可得:x2+y32=3,可得圓心C03,半徑r=3
經(jīng)過圓心C與直線l垂直的直線方程為:y=-13x+3,化為:x+3y-3=0.
聯(lián)立{x+3y3=03xy33=0,解得x=3,y=0,
∴ρ=3,tanθ=yx=0.
∴P(3,0).

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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