Question

12．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中點(diǎn)，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，AD=2，AM=3．
（1）求證：AC⊥BN；
（2）求證：AN∥平面MEC；
（3）求二面角M-BC-A的大小．

Answer 1

分析 （1）連接BD，說(shuō)明AC⊥BD，證明ND⊥AC，然后證明AC⊥平面NDB．利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明AC⊥BN．
（2）CM與BN交于F，連接EF．證明AN∥EF．即可證明AN∥平面MEC．
（3）取線段BC的中點(diǎn)T，連結(jié)DT、NT，說(shuō)明∠NTD即為二面角N-BC-D的平面角．轉(zhuǎn)化為二面角N-BC-D的大小等于二面角M-BC-A的大�。�在直角三角形△NDT中，求解二面角M-BC-A的大小即可．

解答 （本小題滿分12分）
（1）證明：連接BD，則AC⊥BD．
由已知DN⊥平面ABCD，
又∵AC?平面ABCD∴ND⊥AC
因?yàn)镈N∩DB=D，
所以AC⊥平面NDB．
又因?yàn)锽N?平面NDB，
所以AC⊥BN．…（4分）
（2）證明：CM與BN交于F，連接EF．
由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形，
所以F是BN的中點(diǎn)．
因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，
所以AN∥EF．
又EF?平面MEC，AN?平面MEC，
所以AN∥平面MEC．…（8分）
（3）解：取線段BC的中點(diǎn)T，連結(jié)DT、NT，
∵△DBC為正三角形∴DT⊥BC
又∵M(jìn)A⊥平面ABCD，ND∥AM∴ND⊥平面ABCD，

又∵BC?平面ABCD，∴ND⊥BC
再∵DT∩ND=D∴BC⊥平面NDT
又∵NT?平面NDT∴NT⊥BC．
因而∠NTD即為二面角N-BC-D的平面角．
又∵M(jìn)N∥平面ABCD，∴二面角N-BC-D的大小等于二面角M-BC-A的大小．
在正三角形△DBC中，AD=2，所以$DT=\sqrt{3}$．
在直角三角形△NDT中，ND=3，所以$tan∠NTD=\frac{3}{{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$．
∴二面角M-BC-A的大小為60°．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面鏡的求法，直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．