Question

13．在△ABC中，2B=A+C．
（1）當(dāng)AC=12時(shí)，求S_△ABC的最大值；
（2）當(dāng)S_△ABC=4$\sqrt{3}$時(shí)，求△ABC周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，B=60°，b=12，由余弦定理、基本不等式，即可求S_△ABC的最大值；
（2）當(dāng)S_△ABC=4$\sqrt{3}$時(shí)，求出ac，利用余弦定理、基本不等式，即可求△ABC周長的最小值．

解答 解：（1）由題意，B=60°，b=12，
∴由余弦定理可得12²=a²+c²-2accos60°≥ac，
∴ac≤144，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$≤36$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC的最大值為36$\sqrt{3}$；
（2）S_△ABC=4$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}ac×\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴ac=16，
又b²=a²+c²-2accos60°=（a+c）²-48，b²=a²+c²-2accos60°≥ac
∴a+c=$\sqrt{^{2}+48}$，b≥4
∴△ABC周長為a+c+b≥8+4=12
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，△ABC周長的最小值為12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理、基本不等式，考查三角形面積、周長的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．