Question

1．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$；
（2）y=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$．

Answer 1

分析 求出兩個函數(shù)的定義域，都用函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$的單調(diào)性求解．

解答 解：（1）函數(shù)y=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$的定義域為{x|x≠±1}．
當x=0時，y=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$=0；
當x≠0時，y=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-\frac{1}{x}}$，
∵y=$x-\frac{1}{x}$在（-∞，-1），（-1，0），（0，1），（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴$x-\frac{1}{x}$的范圍為（-∞，0）∪（0，+∞），
∴y=$\frac{1}{x-\frac{1}{x}}$的范圍為（-∞，0）∪（0，+∞），
綜上，函數(shù)y=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$的值域為R；
（2）y=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$的定義域為{x|x≠0}．
由y=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$=x-$\frac{1}{x}$在（-∞，0），（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴y=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$的值域為R．

點評 本題考查函數(shù)的值域的求法，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，該題的解答，體現(xiàn)了極限思想的運用，是中檔題．