Question

過定點A（1，0）的動圓M與定圓B：（x+1）²+y²=8內(nèi)切（圓心為B）．
（1）求動圓圓心M的軌跡方程；
（2）設(shè)點N（0，1），是否存在直線l交M的軌跡于P，Q兩點，使得△NPQ的垂心恰為點A．若存在，求出該直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設(shè)M（x，y），由題意得|MB|=2

2

-|MA|，即|MA|+|MB|=2

2

＞|AB|=2，
由橢圓的定義可得：點M的軌跡是以A（1，0），B（-1，0）為焦點的橢圓，
且2a=2

2

，2c=2，解得a=

2

，c=1，b²=a²-c²=1．
故動圓圓心M的軌跡方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵A是垂心，∴kl=-

1

kNA

=1，
設(shè)直線l的方程為y=x+m，聯(lián)立

y=x+m x2 2 +y2=1

．
消去y整理得3x²+4mx+2（m²-1）=0，
∴x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2(m2-1)

3

，又AP⊥NQ，
∴

AP

•

NQ

=0，∴（x₁-1，x₁+m）•（x₂，x₂+m-1）=0，整理為2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m（m-1）=0，
∴

4(m2-1)

3

+(m-1)(-

4m

3

)+m(m-1)=0，解之得m=1（舍去）或m=-

4

3

．
經(jīng)檢驗m=-

4

3

符合題意，故存在符合題意的直線l：y=x-

4

3

．