Question

過定點A（1，0）的動圓M與定圓B：（x+1）²+y²=8內(nèi)切（圓心為B）．
（1）求動圓圓心M的軌跡方程；
（2）設(shè)點N（0，1），是否存在直線l交M的軌跡于P，Q兩點，使得△NPQ的垂心恰為點A．若存在，求出該直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)M（x，y），由題意得|MB|=，即＞|AB|=2，由橢圓的定義可得：點M的軌跡是橢圓，求出即可；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由A是垂心，可得，設(shè)直線l的方程為y=x+m，聯(lián)立．消去y整理得3x²+4mx+2（m²-1）=0，得到根與系數(shù)的關(guān)系．又AP⊥NQ?，可得（x₁-1，x₁+m）•（x₂，x₂+m-1）=0，整理為2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m（m-1）=0，代入即可解出m．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y），由題意得|MB|=，即＞|AB|=2，
由橢圓的定義可得：點M的軌跡是以A（1，0），B（-1，0）為焦點的橢圓，
且，2c=2，解得，c=1，b²=a²-c²=1．
故動圓圓心M的軌跡方程為．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵A是垂心，∴，
設(shè)直線l的方程為y=x+m，聯(lián)立．
消去y整理得3x²+4mx+2（m²-1）=0，
∴，，又AP⊥NQ，
∴，∴（x₁-1，x₁+m）•（x₂，x₂+m-1）=0，整理為2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m（m-1）=0，
∴，解之得m=1（舍去）或．
經(jīng)檢驗m=-符合題意，故存在符合題意的直線l：．
點評：本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積得關(guān)系等基本知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力與計算能力．．