已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
3
2
,點P(
3
,
1
2
)在橢圓C上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點P(
6
5
,0)
作直線l分別交橢圓C于A、B兩點,求證:以線段AB為直徑的圓恒過橢圓C的右頂點.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的關系
專題:圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:(Ⅰ)利用離心率,橢圓方程,以及abc的關系,即可求解橢圓的標準方程.
(Ⅱ)設橢圓C的右頂點為Q,由(Ⅰ)知,Q點坐標為(2,0),當直線的斜率存在時,設直線的方程,將直線的方程代入橢圓方程
x2
4
+y2=1
,通過△>0,設A點坐標為(xA,yA),B點坐標為(xB,yB),結合韋達定理以及向量的數(shù)量積,判斷直線垂直.即可得到以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點Q.當直線的斜率不存在時,判斷以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點.
解答: 解:(Ⅰ)由題意得
c
a
=
3
2
,
3
a2
+
(
1
2
)
2
b2
=1

a2=b2+c2
解得a=2,b=1,
所以橢圓的標準方程為
x2
4
+y2=1
…(4分)
(Ⅱ)設橢圓C的右頂點為Q,由(Ⅰ)知,Q點坐標為(2,0)…(5分)
當直線的斜率存在時,設直線的方程為y=k(x-
6
5
)
,
將直線的方程為y=k(x-
6
5
)
,代入橢圓方程
x2
4
+y2=1

整理可得
x2
4
+[k(x-
6
5
)]2=1
,
即(25+100k2)x2-240k2x+144k2-100=0…(6分)
∵△>0設A點坐標為(xA,yA),B點坐標為(xB,yB),
則A(xA,k(xA-
6
5
))
,B(xB,k(xB-
6
5
))

所以xA+xB=
240k2
25+100k2
xAxB=
144k2-100
25+100k2
…(7分)
QA
=(2-xA,-yA)
QB
=(2-xB,-yb)
,
QA
QB
=(2-xA)•(2-xB)+yAyB
…(8分)
=4-2xA-2xB+xAxB+k2(xA-
6
5
)(xB-
6
5
)

=4-(2+
6
5
k2)
240k2
25+100k2
+(1+k2)
144k2-100
25+100k2
+
36
25
k2=4-
400k2+100
25+100k2
=0
,
QA
QB

即以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點Q.…(10分)
當直線的斜率不存在時,A(
6
5
,
4
5
),B(
6
5
,-
4
5
)
,
QA
QB
符合題意.
故以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點.…(12分).
點評:本題考查直線與橢圓的綜合應用,橢圓的方程的求法,考查分析問題解決問題的能力.
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m+ni
m-ni
=
 

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1
2
,乙每個階段獲勝的概率為
3
4

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①A=N,B=Z,f:x→y=-x;
②A={x|x>0,x∈R},B={x|x>0,x∈R},f:x→y=
1
x

③A=N,B={0,1},f:除以2所得的余數(shù);
④A={-4,-1,1,4},B={-2,-1,1,2},f:x→y=±
|x|
;
⑤A={平面內(nèi)邊長不同的等邊三角形},B={平面內(nèi)半徑不同的圓},f:作等邊三角形的內(nèi)切圓.
A、2B、3C、4D、5

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雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線y=x2+1 相切,則該雙曲線的離心率等于( 。
A、
5
2
B、
5
C、
6
D、
6
2

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