Question

某游戲分四個階段，只有上一階段獲勝，才能繼續(xù)參加下一階段的比賽，否則就被淘汰，選手每闖過一個階段，個人記10分，否則記0分．甲、乙兩個選手參加了此游戲，已知甲每個階段獲勝的概率為

1

2

，乙每個階段獲勝的概率為

3

4

．
（Ⅰ）求甲、乙兩人最后積分之和為20的概率；
（Ⅱ）設甲的最后積分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設“甲、乙兩人最后積分之和為20分”為事件A，“甲得0分、乙得20分”為事件B，“甲得10分、乙得10分”為事件C，“甲得20分、乙得0分”為事件D，由此能求出甲、乙兩人最后積分之和為20的概率．（Ⅱ）由已知得ξ的取值可能為：0，10，20，30，40，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）設“甲、乙兩人最后積分之和為20分”為事件A，
“甲得0分、乙得20分”為事件B，“甲得10分、乙得10分”為事件C，
“甲得20分、乙得0分”為事件D，
由已知得P（B）=（1-

1

2

）（

3

4

）²（1-

3

4

）=

9

128

，
P（C）=

1

2

×(1-

1

2

)×

3

4

×(1-

3

4

)=

3

64

，
P（D）=（

1

2

）²（1-

1

2

）（1-

3

4

）=

1

32

，
∴甲、乙兩人最后積分之和為20的概率：
P（A）=P（B+C+D）=P（B）+P（C）+P（D）
=

9

128

+

3

64

+

1

32

=

19

128

．（6分）
（Ⅱ）由已知得ξ的取值可能為：0，10，20，30，40，
P（ξ=0）=1-

1

2

=

1

2

，
P（ξ=10）=

1

2

×(1-

1

2

)=

1

4

，
P（ξ=20）=(

1

2

)2(1-

1

2

)=

1

8

，
P（ξ=30）=(

1

2

)3(1-

1

2

)=

1

16

，
P（ξ=40）=(

1

2

)4=

1

16

，
所以ξ的分布列可為

ξ	0	10	20	30	40
P	1 2	1 4	1 8	1 16	1 16

數(shù)學期望Eξ=0×

1

2

+10×

1

4

+20×

1

8

+30×

1

16

+40×

1

16

=

75

8

．（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．