Question

某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(9≤x≤11)時(shí)，一年的銷售量為(12－x)2萬件．

(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤L最大？并求出L的最大值Q(a)．

 

Answer 1

（1）L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．（2）當(dāng)每件售價(jià)為6＋a元時(shí)，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)＝43(萬元)．

【解析】(1)分公司一年的利潤L(萬元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．

(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)·(18＋2a－3x)．

令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合題意，舍去)．

∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.

在x＝6＋a兩側(cè)，L′的值由正變負(fù)．

所以①當(dāng)8≤6＋a<9，即3≤a<時(shí)，

Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；

②當(dāng)9≤6＋a≤，即≤a≤5時(shí)，

Lmax＝L 2＝43，

所以Q(a)＝

故若3≤a<，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(萬元)；若≤a≤5，則當(dāng)每件售價(jià)為6＋a元時(shí)，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)＝43(萬元)．