Question

（本小題滿分12分）

四棱錐S—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD，已知

∠ABC = 45°AB=2，BC=，SA=SB =

   （Ⅰ）證明SA⊥BC；

   （Ⅱ）求直線SD與平面SAB所成角的大小.

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）SA⊥BC

（Ⅱ）直線SD與平面SAB所成的角為

【解析】解法一：

    （I）作SO⊥BC，垂足為O，連結(jié)AO，由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.

    因?yàn)?i>SA=SB，所以AO=BO.

    又∠ABC=45°，故△AOB為等腰直角三角形，AO⊥BO，

    由三垂線定理，得SA⊥BC.

（II）由（I）知SA⊥BC，依題設(shè)AD∥BC，

故SA⊥AD，由AD=BC=2，SA=，AO=，得

SO=1，.

△SAB的面積.

連結(jié)AB，得△DAB的面積=2.

設(shè)D到平面SAB的距離為h，由，得

，

解得.

設(shè)SD與平面SAB所成角為α，則sinα=.

所以，直線SD與平面SAB所成的角為

解法二：

（I）作SO⊥BC，垂足為O，連結(jié)AO，由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD.

因?yàn)?i>SA=SB，所以AO=BO.

又∠ABC=，△AOB為等腰直角三角形，AO⊥OB.

如圖，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系O—xyz，

A（，0，0），B（0，，0），C（0，－，0），S（0，0，1），

=（，0，－1），=（0，2，0），·=0，

所以SA⊥BC.

（Ⅱ）取AB中點(diǎn)E，E

連結(jié)SE，取SE中點(diǎn)G，連結(jié)OG，G，

，OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SE，AB垂直，

所以OG⊥平面SAB. 與的夾角記為α,SD與平面SAB所成的角記為β，則α與β互余.

所以，直線SD與平面SAB所成的角為