Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面積為 的△ACB是等腰直角三角形且∠ACB=90°，C1B⊥面ABC，C1B=3．
（1）若AB的中點為S，證明：CS⊥C1A．
（2）設(shè) ，是否存在實數(shù)λ，使得直線TB與平面ACC1A1的夾角為 ？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵面積為 的△ACB是等腰直角三角形且∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，AC=BC=3，AB=3 ，

∵C1B⊥面ABC，

∴以B為原點，BC為x軸，在平面ABC中過B作AC的平行線為y軸，

BC1為z軸，建立 空間直角坐標(biāo)系，

∵C1B=3，∴C（3，0，0），B（0，0，0），A（3，﹣3，0），S（ ,- ，0），C1（0，0，3），

∴ =（﹣ ，﹣ ，0）， =（3，﹣3，﹣3），

∴ =﹣ =0，

∴CS⊥C1A．

（2）解：∵ ，∴ = ，

=（0，3，0）， =（﹣3，3，3），

設(shè)平面ACC1A1的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，0，1），

∵直線TB與平面ACC1A1的夾角為 ，

∴sin =|cos＜ ＞|= = = ，

解得λ= ，不舍題意，

故不存在實數(shù)λ，使得直線TB與平面ACC1A1的夾角為 ．

【解析】（1）推導(dǎo)出AC⊥BC，以B為原點，BC為x軸，在平面ABC中過B作AC的平行線為y軸，BC1為z軸，建立 空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CS⊥C1A．（2）求出 = ，平面ACC1A1的法向量 =（1，0，1），利用向量法推導(dǎo)出不存在實數(shù)λ，使得直線TB與平面ACC1A1的夾角為 ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解棱柱的結(jié)構(gòu)特征(兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形)，還要掌握空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．