Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$（n為正整數(shù)）
（1）若${b_n}={2^n}{a_n}$，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）令${C_n}=\frac{n+1}{n}{a_n}$，求數(shù)列{C_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的前n項和${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$（n為正整數(shù)），當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為$2{a}_{n}={a}_{n-1}+（\frac{1}{2}）^{n-1}$，可得2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1．由于${b_n}={2^n}{a_n}$，可得b_n=b_n-1+1，即可證明．
（2）：由（1）可得：b_n=1+（n-1）=n，可得a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$.${C_n}=\frac{n+1}{n}{a_n}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}的前n項和${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$（n為正整數(shù)），
∴當(dāng)n=1時，a₁=-a₁-1，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$-{a}_{n}-（\frac{1}{2}）^{n-1}$-$[-{a}_{n-1}-（\frac{1}{2}）^{n-2}]$，化為$2{a}_{n}={a}_{n-1}+（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1．
∵${b_n}={2^n}{a_n}$，
∴b_n=b_n-1+1，又b₁=2a₁=1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項與公差都為1．
（2）解：由（1）可得：b_n=1+（n-1）=n，
∴2ⁿa_n=n，∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴${C_n}=\frac{n+1}{n}{a_n}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$．
∴數(shù)列{C_n}的前n項和T_n=$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}+\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”方法、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．