Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx+2．
（1）當(dāng)a=-1時，求f（x）的值域．
（2）若f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=-1代入，我們可以求出函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出f′（x）的解析式，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出對應(yīng)的x值，并分析不同區(qū)間上函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得到f（x）的極值；
（2）由已知中函數(shù)f（x）=x²+alnx+2．根據(jù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，我們易得f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)恒成立問題．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時
f（x）=x²-lnx+2
f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$，
令f′（x）=0，則x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵當(dāng)x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）時，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f（x）_極小=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，
∴函數(shù)的值域是（$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，+∞）．
（2）∵f（x）=x²+alnx+2，
∴f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+a}{x}$，
∵f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立
即u=2x²+a≥0在（2，+∞）上恒成立
∵u=2x²+a在（2，+∞）上單調(diào)遞增
∴僅須u的最小值8+a≥0，即a≥-8即可
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-8，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，其中根據(jù)函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，是解答此類問題的關(guān)鍵．