Question

小輝是一位收藏愛好者，在第1年初購買了價值為20萬元的收藏品M，由于受到收藏品市場行情的影響，第2年、第3年的每年初M的價值為上年初的

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；從第4年開始，每年初M的價值比上年初增加4萬元．
（Ⅰ）求第幾年初開始M的價值超過原購買的價值；
（Ⅱ）記T_n（n∈N^*）表示收藏品M前n年的價值的平均值，求T_n的最小值．

Answer 1

考點：數列的應用

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）根據題意，寫成通項公式，計算即可；
（Ⅱ）分1≤n≤3及n≥4兩種情況分析即可．

解答： 解：（Ⅰ）設第n年初M的價值為a_n，
依題意，當1≤n≤3時，數列{a_n}是首項為20，公比為

1

2

的等比數列，
所以an=20×(

1

2

)n-1=5×23-n．故a₂=10，a₃=5，所以a₃＜a₂＜a₁．
當n≥4時，數列{a_n}是以a₄為首項，公差為4的等差數列，
又a₄=a₃+4=9，所以a_n=9+（n-4）×4=4n-7．
令a_n＞20，得n＞

27

4

，又因為n∈N^*，所以n≥7．
因此，第7年初M開始的價值a_n超過原購買的價值．
（Ⅱ）設S_n表示前n年初M的價值的和，則Tn=

Sn

n

由（Ⅰ）知，當1≤n≤3時，Sn=

20•(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=40-5×23-n，
Tn=

40-5×23-n

n

①；
當n≥4時，由于S₃=35，故Sn=S3+(a4+a5+…+an)=35+

(n-3)(9+4n-7)

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=2n2-5n+32，
Tn=

2n2-5n+32

n

=2n+

32

n

-5．②
當1≤n≤3時，由①得，T₁=20，T₂=15，T3=

35

3

，所以T₁＞T₂＞T₃
當n≥4時，由②知，Tn=2n+

32

n

-5 ≥ 2

2n• 32 n

-5=11，
當且僅當2n=

32

n

，即n=4時等號成立．即（T_n）_min=T₄=11．
由于T₃＞T₄，故在第4年初T_n的值最小，其最小值為11．

點評：本小題主要考查數列、等差數列、等比數列、不等式等基礎知識，考查運算求解能力、抽象概括能力、應用意識，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想．