Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}有無窮多項(xiàng)，各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，m，p∈N^*，且m+p=20，S₁₀=4，則S_m•S_p的最大值為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)公差為d，由等差數(shù)列的求和公式化簡可得S_m•S_p=mp[a₁²+9da₁+

1

4

（m-1）（p-1）d²]，由基本不等式可得S_m•S_p=≤mp[a₁²+9da₁+

1

4

(

m-1+p-1

2

)2d²]
由等號(hào)成立的條件可得結(jié)論．

解答：解：由題意可設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由求和公式可得S_m=ma₁+

m(m-1)

2

d，S_p=pa₁+

p(p-1)

2

d，
∴S_m•S_p=[ma₁+

m(m-1)

2

d][pa₁+

p(p-1)

2

d]
=mpa₁²+

1

2

mp（p-1）da₁+

1

2

mp（m-1）da₁+

1

4

mp（m-1）（p-1）d²
=mpa₁²+

1

2

mp（m+p-2）da₁+

1

4

mp（m-1）（p-1）d²
=mp[a₁²+9da₁+

1

4

（m-1）（p-1）d²]
≤mp[a₁²+9da₁+

1

4

(

m-1+p-1

2

)2d²]
=mp[a₁²+9da₁+

81

4

d²]
≤(

m+p

2

)2[a₁²+9da₁+

81

4

d²]
=100[a₁²+9da₁+

81

4

d²]
當(dāng)且僅當(dāng)m=p時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)m=p=10，
∴S_m=S_p=S₁₀=4
又S_m•S_p≤(

Sm+Sp

2

)2，當(dāng)且僅當(dāng)S_m=S_p時(shí)取等號(hào)，
由于此時(shí)S_m=S_p=S₁₀=4，
∴S_m•S_p≤(

Sm+Sp

2

)2=(

4+4

2

)2=16
故答案為：16

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．