Question

己知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n

 （n∈N^*），
（Ⅰ）證明數(shù)列{ 

2n

an

 }是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n）的通項公式；
（Ⅲ）設b_n=n（n+1）a_n 求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N^*）變形兩邊取倒數(shù)即可得出；
（Ⅱ）由（I）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n=n（n+1）a_n=n•2ⁿ，利用“錯位相減法”和等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N^*），
∴

2n+1

an+1

=

2n

an

+1，即

2n+1

an+1

-

2n

an

=1，
∴數(shù)列{

2n

an

}是公差為1的等差數(shù)列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

2n

an

=

2

a1

+n-1=n+1，
∴an=

2n

n+1

．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n=n（n+1）a_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了變形的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．