Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，且過點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試卷分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率為，短軸右端點(diǎn)為A的坐標(biāo)即可求出a,b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（Ⅱ）分類討論：當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，當(dāng)軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知恒有直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，即在軸上存在定點(diǎn)，使得直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱.

試卷解析：

（Ⅰ）由題意得，

，故橢圓的方程為.

（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件.

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，

代入橢圓方程化簡(jiǎn)得： ，

設(shè)，，則，，

所以

，

因?yàn)?/span> ，

所以當(dāng)時(shí)，，直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，

當(dāng)軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知恒有直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，

綜上可得，在軸上存在定點(diǎn)，使得直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱.