Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x+2|（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≥|x-2|的解集包含[-4，-2]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的分段函數(shù)的形式，通過(guò)討論x的范圍求出各個(gè)區(qū)間上的x的范圍，取并集即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x+a≤-4或x+a≥4在x∈[-4，-2]上恒成立，即a≤（-4-x）_min=-2或a≥（4-x）_max=8，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，$f（x）=|{x-1}|+|{x+2}|=\left\{{\begin{array}{l}{-2x-1，（x＜-2）}\\{3，（-2≤x≤1）}\\{2x+1，（x＞1）}\end{array}}\right.$，
則原不等式可化為$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{-2x-1≥5}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-2≤x≤1}\\{3≥5}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞1}\\{2x+1≥5}\end{array}}\right.$，
解得x≤-3或x≥2，
所以原不等式的解集為（-∞，-3]∪[2，+∞）；
（2）因?yàn)閒（x）≥|x-2|的解集包含[-4，-2]，
則|x+a|+|x+2|≥|x-2|在x∈[-4，-2]上恒成立，
即|x+a|≥|x-2|-|x+2|=-（x-2）+x+2=4在x∈[-4，-2]上恒成立，
即x+a≤-4或x+a≥4在x∈[-4，-2]上恒成立，
即a≤（-4-x）_min=-2或a≥（4-x）_max=8，
所以a的取值范圍是（-∞，-2]∪[8，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類討論思想以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．