Question

13．把正整數(shù)排列成如圖l三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的所有奇數(shù)和奇數(shù)行中的所有偶數(shù)，可得到如圖2的三角形數(shù)陣．現(xiàn)將圖2中的正整數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列{a_n}．則
（Ⅰ）a₂₃=39；
（Ⅱ）若a_k=2013，則k=1029．

Answer 1

分析 （Ⅰ）觀察圖2，發(fā)現(xiàn)第k行有k個(gè)數(shù)，第k行最后的一個(gè)數(shù)為k²，前k行共有$\frac{k（k+1）}{2}$個(gè)數(shù)，前6行有21個(gè)數(shù)，a₂₃出現(xiàn)在第7行，第2個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）因?yàn)?4²＜2011＜45²，所以判斷出這個(gè)數(shù)在第45行，而第45行的第一個(gè)數(shù)為1937，根據(jù)相鄰兩個(gè)數(shù)相差2，得到第45行39個(gè)數(shù)為2013，求出k即可．

解答 解：（Ⅰ）圖2中第k行有k個(gè)數(shù)，第k行最后的一個(gè)數(shù)為k²，前k行共有$\frac{k（k+1）}{2}$個(gè)數(shù)，
前6行有21個(gè)數(shù)，a₂₃出現(xiàn)在第7行，第2個(gè)數(shù)，
第7行第一個(gè)數(shù)為6²+1=37，公差為2的等差數(shù)列
∴a₂₃=39，
（Ⅱ）由44×44=1936，45×45=2025知a_k=2013出現(xiàn)在第45行，第45行第一個(gè)數(shù)為1937，
第$\frac{2013-1937}{2}$+1=39個(gè)數(shù)為2013，
所以k=$\frac{44（44+1）}{2}$+39=1029．
故答案為：39；1029．

點(diǎn)評 考查學(xué)生會(huì)根據(jù)圖形歸納總結(jié)規(guī)律來解決問題，會(huì)進(jìn)行數(shù)列的遞推式運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．